Hình thoi là một trong những dạng hình học thường gặp nhất ở toán hình. Nếu bạn vẫn mơ hồ, chưa nắm được hình thoi là gì? Công thức tính diện tích hình thoi thì đừng bỏ qua bài viết dưới đây của Kiến Thức Tổng Hợp nhé.
Nội dung bài viết
Hình thoi là gì?
Hình thoi là một dạng tứ giác có tất cả bốn cạnh bằng nhau. Nó cũng có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của hình bình hành khi có hai cạnh kề bằng nhau hoặc khi có hai đường chéo vuông góc nhau.
Hình thoi là hình gì?
Như vậy: Ta có tứ giác ABCD là hình thoi khi thỏa mãn điều kiện 4 cạnh bên bằng nhau. Tức là AB = BC = CD = DA.
Các tính chất của hình thoi
Việc nắm vững tính chất của hình thoi rất cần thiết để các bạn học sinh vận dụng cho các dạng bài chứng minh hình học. Dưới đây là 4 tính chất của hình thoi các bạn cần ghi nhớ:
- Các góc đối của hình thoi sẽ có số đo bằng nhau.
- Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Hình thoi sẽ có tất cả tính chất của một hình bình hành.
Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Để nhận biết một tứ giác có phải là hình thoi hay không, chúng ta sẽ dựa vào những tính chất như sau:
Là một hình bình hành đặc biệt
Hình thoi là một dạng dạng đặc biệt của hình bình hành. Nó sẽ có tất cả tính chất của một hình bình hành cụ thể:
- Hình bình hành có hai cạnh bên cùng bằng nhau sẽ là hình thoi
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau sẽ là hình thoi
- Hình bình hành có một đường chéo cũng chính là đường phân giác của một góc sẽ là hình thoi.
Là một hình tứ giác đặc biệt bởi:
- Các góc đối cùng bằng nhau là hình thoi
- Hai đường chéo vuông góc với nhau, đồng thời cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Hai đường chéo là hai tia phân giác các góc của hình thoi.
Các công thức của hình thoi
Xoay quanh các bài tập về hình thoi, các bạn cũng cần nắm vững công thức tính diện tích hình thoi, chu vi hình thoi để làm bài.
Công thức tính diện tích hình thoi
Công thức diện tích hình thoi
Diện tích hình thoi được được đo bằng độ lớn của toàn bộ bề mặt hình. Đó chính là phần mặt phẳng mà chúng ta có thể nhìn thấy của hình thoi. Công thức hình thoi đã được chứng minh bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.
S.ABCD = ½(d1Xd2)
Trong đó:
- S: là diện tích hình thoi.
- d1 và d2: lần lượt là các đường chéo của hình thoi.
Công thức tính chu vi hình thoi
Chu vi hình thoi là tổng độ dài của các đường bao xung quanh hình thoi. Đây cũng chính là đường bao quanh toàn bộ diện tích của hình thoi. Công thức chu vi hình thoi: P.ABCD = a x 4
Trong đó:
- P: là chu vi hình thoi
- a: là chiều dài một cạnh bất kỳ của hình thoi
Các cách chứng minh một hình là hình thoi
Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, các bạn sẽ dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình thoi vừa đã nêu ở trên. Dưới đây là một số ví dụ minh họa cụ thể trong từng trường hợp.
Cách 1: Tứ giác có bốn cạnh đều bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh các trung điểm 4 cạnh của hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Hình minh họa
Xét ΔABD ta có có E là trung điểm AB, H là trung điểm AD.
⇒ EH là đường trung bình ΔABD
⇒ EH = 1/2 BD (1) (tính chất đường trung bình)
Tương tự, ta có E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC. Từ đó ta có EF là đường trung bình ΔABC. EF = 1/2 AC.
Tương tự, ta lần lượt có FG là đường trung bình Δ BCD FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)
Mặt khác, tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = HG = GF= FE.
⇒ Tứ giác EFGH là hình thoi vì có 4 cạnh bằng nhau.
Cách 2: Cho tứ giác 2 đường chéo là các đường trung trực.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB = AC. Kéo dài đường trung tuyến AM của ΔABC và lấy MA = ME. Chứng minh rằng tứ giác ABEC là một hình thoi.
Hình minh họa
Ta có:
ΔABC cân tại A, AM là đường trung tuyến
⇒ AM là đường trung trực ΔABC
⇒ Tứ giác ABEC là hình thoi vì có 2 đường chéo là các đường trung trực của nhau.
Cách 3: Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC lấy các điểm D, E theo thứ tự sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là các trung điểm của BE, CD, DE và BC. Hãy chứng minh tứ giác IMNK là hình thoi.
Hình minh họa
Bài giải:
Ta có: M là trung điểm của EB; I là trung điểm của DE
⇒ MI là đường trung bình của tam giác BDE
⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD
Chứng minh tương tự, ta sẽ có:
NK là đường trung bình tam giác CBD. Từ đó ⇒ NK // BD và NK= 1/2 BD
Vậy nên, MI // NK và MI = NK suy ra tứ giác MKNI là hình bình hành (4)
Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình ΔDCE.
⇒ IN = 1/2 CE mà BD = CE (giả thiết) => IM = IN (5)
Từ (4) và (5) ⇒ Tứ giác MKNI là hình thoi. Dựa vào dấu hiệu hình bình hành có hai cạnh kề bên bằng nhau.
Cách 4: Hình bình hành hai đường chéo vuông góc
Ví dụ: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD. Hãy chứng minh giao điểm của các đường phân giác trong của những tam giác ΔAOB; ΔBCO; ΔCDO và ΔAOD là đỉnh của một hình thoi.
Hình minh họa
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BCO, CDO và DOA.
Ta có, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Vậy nên OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBMO và ΔDPO ta có:
Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( hai góc đối đỉnh ) và OB = OD (giả thiết)
=> ΔOBM = ΔODP (g.c.g)
=> OM = OP và các điểm P, O, M thẳng hàng (6)
Chứng minh tương tự, ta cũng có ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) => Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. (8)
Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên ta có OM vuông góc ON. (9)
Từ (8) và (9) => MNPQ là hình thoi ( hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau).
Tuyển tập các dạng bài tập hình thoi hay gặp nhất
Dưới đây là những dạng bài tập về hình thoi hay gặp nhất mà các bạn có thể tham khảo để nắm rõ được hình thoi, công thức tính diện tích hình thoi.
Dạng 1: Tính diện tích hình thoi
Đề bài: Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo AC = 3 cm và BD =4 cm. Khi đó, diện tích hình thoi được tính bằng?
Bài giải: Diện tích hình thoi ABCD bằng 3 x 4= 12 (cm2)
Dạng 2: Tính chu vi hình thoi
Đề bài: Một mảnh vườn một hình thoi có cạnh bằng 5cm. Hãy tính chu vi mảnh vườn đó.
Bài giải: Chu vi của mảnh vườn đó bằng: P = 5 X 4 = 20(cm)
Dạng 3: Bài tập nhận biết hình thoi:
Trong tất cả hình sau đây, hình nào là hình thoi. Hãy giải thích vì sao?
Lời giải:
Bài tập về dấu hiệu nhận biết hình thoi
Các hình a,b,c trong bài đều là hình thoi. Vì:
- Hình a: Tứ giác ABCD là hình thoi (áp dụng định nghĩa: tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi)
- Hình b: Tứ giác EHGF là hình thoi bởi EG là đường chéo đồng thời là đường phân giác của hình thoi.
- Hình c: Tứ giác IKMN là hình thoi bởi có hai đường chéo KN và IM vuông góc với nhau.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về hình thoi là gì, diện tích hình thoi mà các bạn học sinh cần nắm chắc để vận dụng linh hoạt trong các bài toán hình học liên quan. Nếu còn vấn để gì chưa hiểu, bạn đọc có thể để lại bình luận để mọi người cùng thảo luận nhé!
>>> Bạn đã biết quy đổi 1 feet bằng bao nhiêu cm chưa? Xem ngay tại đây
