Trong hình học, cát tuyến là một khái niệm quan trọng và thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến đường tròn. Vậy, cát tuyến là gì? Cát tuyến của đường tròn được xác định như thế nào? Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn có cái nhìn rõ hơn về định nghĩa và tính chất cát tuyến trong môn hình học.
Nội dung bài viết
Cát tuyến là gì?
Cát tuyến là một khái niệm hình học được giảng dạy trong chương trình lớp 9. Cát tuyến là một từ có nguồn gốc từ tiếng Hán Việt, trong đó “cát” có nghĩa là cắt, và “tuyến” được hiểu là đường thẳng. Nó chỉ đến một đường thẳng cắt qua một bề mặt khác, như một đường cong hay một đường tròn.
Khái niệm đường cát tuyến
Trong sách giáo khoa hình học lớp 9, định nghĩa về cát tuyến được trình bày như sau: Cát tuyến của đường tròn là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm khác nhau.
Hiểu một cách đơn giản, giao điểm giữa đường cát tuyến và đường tròn là hai điểm thuộc đường tròn đó.
Một trường hợp đặc biệt của cát tuyến là khi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn. Khi đó, cát tuyến của đường tròn trùng với đường kính của đường tròn. Hoặc nói cách khác, cát tuyến của đường tròn là đoạn thẳng cắt đường tròn tại hai điểm khác nhau.
Ứng dụng đường cát tuyến hình tròn
Đường cát tuyến hình tròn có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ lệ, tam giác đồng dạng, đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Dưới đây là một số ví dụ về việc sử dụng đường cát tuyến trong các tình huống ứng dụng cụ thể:
Đường cát tuyến được sử dụng để giải nhiều bài tập liên quan đến đường tròn
- Tính bán kính của đường tròn khi biết hai đoạn cát tuyến và khoảng cách giữa hai điểm giao của chúng với đường tròn.
- Tính diện tích của tứ giác nội tiếp trong đường tròn khi biết các cạnh và góc tạo bởi các đoạn cát tuyến.
- Tính chiều dài của một cung tròn khi biết hai tiếp tuyến và một đoạn cát tuyến.
Đặc điểm, tính chất đường cát tuyến là gì?
Đường cát tuyến là đoạn thẳng cắt một đường khác (có thể là đường thẳng, đường tròn, đường cong… ) tại hai điểm khác nhau. Đường cát tuyến có một số đặc điểm, tính chất như sau:
Nắm rõ tính chất đường cát tuyến để vận dụng linh hoạt khi làm bài
- Nếu hai đoạn thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại một điểm, thì tích các đoạn của mỗi dây bằng nhau.
- Nếu hai đoạn thẳng cắt nhau tại một điểm và tích độ dài của mỗi đoạn bằng nhau, thì bốn điểm nằm trên cùng một đường tròn.
- Nếu một đoạn thẳng là tiếp tuyến và một đoạn thẳng là đoạn cát tuyến của một đường tròn, thì bình phương của độ dài của tiếp tuyến bằng tích của hai đoạn cát tuyến.
- Nếu từ một điểm nằm ngoài đường tròn, vẽ hai đoạn tiếp tuyến và một đoạn cát tuyến, thì trung điểm của đoạn cát tuyến nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm tiếp tuyến.
- Nếu từ một điểm nằm ngoài đường tròn, vẽ hai đường tiếp tuyến và một đường cát tuyến, thì tỉ lệ giữa độ dài của đường cát tuyến và độ dài của tiếp tuyến là không đổi.
Bài tập vận dụng tham khảo
Trước khi làm các dạng bài về đường cát tuyết, các bạn học sinh cần lưu ý một vài vấn đề như sau:
- Hiểu rõ định nghĩa cát tuyến để nhận biết trong bài toán.
- Phân biệt đường cát tuyến và đường tiếp tuyến trong đường tròn.
- Ghi nhớ tính chất cơ bản của đường cát tuyến.
Bài tập ví dụ: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Hãy vẽ đoạn thẳng MCD là cát tuyến không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O). Trong đó, A và B là hai tiếp điểm trên đường tròn, và C nằm giữa M và D.
Bài tập ví dụ về cát tuyến
- Chứng minh: MA.MA = MC.MD.
- Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng các điểm M, A, O, I, và B đều nằm trên một đường tròn.
- Gọi H là giao điểm của các đoạn thẳng AB và MO. Chứng minh rằng tứ giác CHOD nội tiếp và đoạn AB là đoạn phân giác của góc CHD.
- Gọi K là điểm giao của hai tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh rằng các điểm A, B và K đều nằm trên cùng một đường thẳng.
Lời giải:
- a) Ta có, MA là tiếp tuyến đường tròn (O) (theo giả thiết)
Do đó, ta có góc MAC = góc MDA => △ MAC ~ △ MDA (g.g)
=> MA/MD = MC/MA (tính chất tam giác đồng dạng) => MA2 = MC.MD (đpcm)
- b) Ta có I là trung điểm CD ( theo giả thiết)
=> Góc MIO = 90 độ = góc MAO = góc MBO
=> 4 điểm M, A, O, I, B đều nằm trên đường tròn có đường kính MO.
- c) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H
Từ đó, ta có MH. MO = MA^2 = MC. MD
=> MA/MD = MC/MA => △ MHC ~ △ MDC
=> góc MHC = góc MDO
=> Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn
=> Góc OCD = góc OHD = góc ODC = góc MHC
=> 900 – góc MHC = 900 – góc OHD => góc CHB = góc BHD
=> HB là tia phân giác của góc CHD.
- d)
Ta có KC và KD là hai đường tiếp tuyến cắt nhau tại điểm K của đường tròn (O)
Từ đó, ta suy ra tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc đường tròn).
Mặt khác, tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh phía trên) (hay 4 điểm H, O, D, C nằm trên một đường tròn)
=> 5 điểm K, C, H, O, D đều nằm trên một đường tròn.
Với HK là đoạn phân giác của góc CHD (do KC = KD), ta có 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Trên đây là những kiến thức liên quan đến đường cát tuyến mà chúng tôi đã tổng hợp. Mong rằng, bài viết giúp các bạn học sinh nắm vững, tự tin hơn khi làm dạng bài này.
