Trực tâm là một điểm đặc biệt của tam giác, nó sở hữu tính chất và định lý giúp cho các bạn học sinh giải quyết những bài tập hóc búa. Vậy trực tâm là gì? Cách xác định trực tâm như thế nào? Tất cả các vấn đề liên quan đến trực tâm sẽ được giải đáp chi tiết nhất trong nội dung bài viết hôm nay.
Nội dung bài viết
Trực tâm là gì?
Trực tâm chính là giao điểm của 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh trong một tam giác. Mỗi tam giác chỉ có một trực tâm duy nhất và nó có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác đó.
Trực tâm là gì?
Định nghĩa đường cao tương ứng với một điểm trong tam giác chính là đường thẳng nối từ đỉnh đó đến cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đó tại điểm cắt. Khi đó, cạnh đối diện gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó; còn độ dài đường cao sẽ được định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng với nó.
Định lý, tính chất, hệ quả trực tâm trong tam giác
Để làm tốt một số dạng bài tập toán hình học, đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm rõ các tính chất, định lý và hệ quả quan trọng của trực tâm để vận dụng nhanh chóng và hiệu quả. Cụ thể:
- Nếu như ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm này sẽ được gọi là trực tâm của tam giác đó.
- Trực tâm của tam giác ABC nhọn trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác được tạo lên bởi 3 đỉnh (là 3 chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác ABC).
Định lý, tính chất, hệ quả trực tâm trong tam giác
- Khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh sẽ bằng ½ khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó.
- Trong tam giác cân, đường trung trực sẽ tương ứng với cạnh đáy và đồng thời là đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến của chính tam giác đó.
- Trong tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời cũng là đường phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.
- Trong tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời cũng là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
- Định lý Carnot: Đường cao của một đỉnh trong tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó chính là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh. Ví dụ, Tam giác ABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm D và có trực tâm là M ⇒ D đối xứng với M qua BC.
- Hệ quả: Trong tam giác đều ABC thì trọng tâm, trực tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp sẽ trùng nhau.
Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau trong tam giác đều
Cách xác định trực tâm là gì của tam giác như thế nào?
Theo định nghĩa thì trực tâm chính là giao điểm của 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác đó. Tuy nhiên, khi xác định trực tâm thì bạn chỉ cần tìm ra giao điểm của 2 đường cao là có thể dễ dàng xác định được trực tâm của một tam giác mà không cần vẽ cả 3 đường cao.
Các dạng tam giác khác nhau thì vị trí trực tâm sẽ khác nhau. Cụ thể:
- Trong tam giác nhọn thì trực tâm nằm trong tam giác.
- Trong tam giác tù thì trực tâm nằm ngoài tam giác.
- Trong tam giác vuông thì trực tâm chính là đỉnh góc vuông góc của tam giác.
Tam giác FEG vuông tại A có H là trực tâm
Ngoài ra, khi dựa vào các định lý, tính chất hay hệ quả thì chúng ta có thể xác định trực tâm bằng các cách sau:
- Theo tính chất, khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tới trung điểm của cạnh sẽ bằng ½ khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh còn lại của tam giác đó. Khi đó, nếu biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì ta dễ dàng xác định trực tâm bằng cách kẻ 1 đường cao và 1 đường từ tâm đường tròn đến trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đường cao đó. Từ đây, chúng ta cần tìm 1 điểm nằm trên đường cao đỉnh tam giác tương ứng với 1 khoảng gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn tới trung điểm cạnh đối diện. Đó chính là trực tâm.
- Theo định lý Carnot, đường cao tương ứng với 1 đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó chính là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đối xứng với đỉnh đó. Vì thế, bạn có thể xác định trực tâm bằng cách kẻ 1 đường cao của tam giác đó. Lưu ý, đường cao đó phải cắt đường tròn tại 1 điểm thứ 2 (ngoài đường tròn); sau đó tìm điểm đối xứng với điểm đó qua đáy tương ứng sẽ là trực tâm.
Một số dạng toán về trực tâm là gì của tam giác
Với các lý thuyết về trực tâm là gì thì các bài toán hình học liên quan đến trực tâm xuất hiện rất nhiều. Dưới đây là một số dạng toán ví dụ mà bạn có thể tham khảo.
Bài toán 1
Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AM và đường cao BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Lời giải:
Theo đề bài, ta có tam giác ABC cân tại A và AM là đường trung tuyến
⇒ AM cũng chính là đường cao của tam giác ABC (theo tính chất)
Lại có, H là giao điểm của 2 đường cao AM và BK
⇒ H là trực tâm của tam giác ABC (theo định nghĩa)
⇒ CH là đường cao của tam giác ABC (theo định nghĩa)
⇒ CH vuông góc với AB (theo định nghĩa)
Bài toán 2
Hãy chứng minh trực tâm của tam giác vuông góc trùng với đỉnh góc vuông; trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.
Lời giải:
- Trường hợp tam giác vuông
Xét tam giác ABC vuông tại A có BA⊥CA (theo định nghĩa), có:
A là giao điểm 2 đường vuông góc trong tam giác ABC
⇒ A là trực tâm của tam giác ABC (theo định nghĩa)
Như vậy, trực tâm của tam giác vuông trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
- Trường hợp tam giác tù
Giả sử, tam giác ABC có A là góc tù. Ta có:
BC là cạnh lớn nhất hoặc BC > BA (theo định nghĩa)
Từ B, ta kẻ BK vuông góc với CA
⇒ KA, KC lần lượt là hình chiếu của BA,BC mà BC > BA (cmt)
⇒ KC > KA hay điểm K nằm bên ngoài đoạn thẳng AC. Do đó ta có đường cao BK.
Chứng minh tương tự ta có, CP là đường cao
Gọi H chính là giao điểm của BK và CP ⇒ H là trực tâm của tam giác (theo định nghĩa)
Vì vậy, theo như hình vẽ thì ta thấy H nằm bên ngoài tam giác ABC.
Do đó, trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác đó (điều cần chứng minh).
Bài toán 3
Trên đường thẳng d, ta lấy 3 điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng a vuông góc với d tại điểm J. Trên A ta lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK và cắt a tại N. Khi đó, dựa vào tính chất trong tam giác chứng minh KN ⊥ IM.
Lời giải:
Theo đề bài, ta có a ⊥ d tại J, M và J ∈ a
⇒ MJ ⟘ IK và MJ là đường cao của ΔMKI (1)
Lại có, N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK
⇒ IN ⟘ MK và IN là đường cao của ΔMKI (2)
Mặt khác, IN và MJ cắt nhau tại N (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ N là trực tâm của tam giác MKI (theo tính chất ba đường cao trong tam giác).
⇒ KN là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⏊ IM.
Bài toán 4
Cho tam giác ABC không vuông có H là trực tâm. Dựa vào tính chất trực tâm trong tam giác, hãy:
- a) Xác định các đường cao trong tam giác HBC, rồi từ đó xác định trực tâm của tam giác HBC.
- b) Lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB, tam giác HAC.
Lời giải:
Gọi D, E, F là chân của các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của tam giác ABC
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB (tính chất trực tâm)
- a) Xét ΔHBC, ta có:
- AD ⊥ BC ⇒ AD là đường cao kẻ từ H đến BC.
- BA ⊥ HC tại F ⇒ BA là đường cao kẻ từ B đến HC.
- CA ⊥ BH tại E ⇒ CA là đường cao kẻ từ C đến HB và AD, BA, CA cắt nhau tại A.
⇒ A là trực tâm của tam giác HCB (định nghĩa trực tâm tam giác).
- b) Xét ΔHAB, ta có:
- CF, AC, BC chính là 3 đường cao của tam giác HAB
- CF, AC, BC cắt nhau tại C
⇒ C là trực tâm của tam giác HAB (theo định nghĩa)
Xét ΔHAC có:
- BE, AB, CB chính là 3 đường cao của tam giác HAC
- BE, AB, CB cắt nhau tại B
⇒ B là trực tâm của tam giác HAC (theo định nghĩa).
Như vậy, nội dung của bài viết hôm nay thì chúng tôi đã chia sẻ thành công đến bạn kiến thức trực tâm là gì. Để tham khảo thêm các thông tin Toán học, mời bạn theo dõi website kienthuctonghop.vn mỗi ngày.
